그래프 이론 (크루스칼, 프림, 위상정렬 알고리즘) - python

그래프 이론

서로소 집합

공통 원소가 없는, 상호 배타적인 부분 집합들로 나눠진 원소들에 대한 정보를 저장하고 조작하는 자료 구조가 바로 유니온- 파인드 자료구조이다.

서로소 집합 자료구조

• union
• 2개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산
• find
• 특정 한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산

서로소 집합 정보가 주어졌을때 트리 자료 구조를 이용해서 집합을 표현한다.

서로소 집합 알고리즘

1. 각 노드는 자기 자신을 부모 노드로 갖도록 초기화 한다.
2. union을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A,B를 확인한다.
   1. A와 B의 루트 노트 A'와 B'를 각각 찾는다.
   2. A'를 B'의 부모 노드로 설정한다. (B'가 A'를 가르키도록 한다.)
      • 트리가 한쪽으로 기울어지는 것을 방지하기 위해서 항상 높이가 더 낮은 트리를 더 높은 트리 밑에 집어 넣으므로써 최적화 하기도 한다 (랭크에 의한 합치기 최적화)
        • 랭크는 어떤 노드가 해당 트리의 루트인 경우 해당 트리의 높이를 저장한다.
        • 두 노드를 합칠 때 높이를 비교해서 낮은 쪽을 높은 트리의 서브트리로 포함하되, 두 트리의 높이가 같은 경우에만 결과 트리의 높이를 1 늘려 준다.
   3. 더 번호가 작은 원소가 부모 노드가 되도록 구현한다.
3. 모든 union(합집합) 연산을 처리할 때까지 1번 과정을 반복한다.

#특정 원소가 속한 집합 찾기
def find_parent(parent,x):
  if parent[x] != x : # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    return find_parent(parent,parent[x])
  return parent[x]
​
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent,a,b):
  a = find_parent(parent,a)
  b = find_parent(parent,b)
  if a < b:
    parent[b] = a
  else:
    parent[a] = b
 
v,e = map(int,input().split())
parent = [0]*(v+1) #부모 테이블 초기화
​
for i in range(1,v+1):
  parent[i] = i
 
​
#union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
  a,b = map(int,input().split())
  union_parent(parent,a,b)
 
​

서로소 집합을 활용한 사이클 판별

무방향 그래프 내에서 사이클을 판별할 때 사용할 수 있다. (방향 그래프일 경우 DFS 사용)

1. 각 간선을 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다.
   1. 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 union 연산을 수행한다.
   2. 루트 노드가 서로 같다면 사이클이 발생한 것이다.
2. 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 1번 과정을 반복한다.

예제 : 그래프의 연결성 확인하기

서로소 집합의 고전적인 사례로 그래프의 연결성을 확인하는 문제가 있다.

N개의 도시가 도로망으로 연결되어 있는데, 각 도로는 정확히 두 개의 도시를 연결한다. 그런데 이들이 폭설로 인해 모두 마비되었고 시간이 지남에 따라 하나 하나 도로들이 복구되는데, 도로가 복구될 때마다 임의의 두 도시 간에 서로 왕래가 가능한지를 알고 싶다고 한다.

• 각 도시를 원소로 하고, 서로 왕래 가능한 도시들을 하나의 집합으로 표시한다.
• 두 도시 a,b를 연결하는 도로가 복구 되었으면 원래 a에 연결되어 있던 도시들과 b에 연결되어 있던 도시들 도한 이 도로를 통해 왕래가 가능하므로 두 집합을 합친다.

예제: 가장 큰 집합 추적하기

각 집합에 속한 원소의 수를 추적할 수도 있다. 각 트리의 개수를 담은 배열을 추가한 뒤 두 집합이 합쳐질 때마다 이 값을 갱신해주면 된다.

아래와 같은 작업들이 가능해진다.

• 집합들이 합쳐지는 과정에서 가장 큰 집합의 크기가 어떻게 변하는지 추적할 수 있다.
• 과반수가 출현하는 시점을 찾을 수 있다.

신장 트리 (스패닝 트리)

어떤 무향 그래프의 신장 트리는

• 원래 그래프의 정점 전부와 간선의 부분 점들을 트리 형태로 전부 연결해야한다.
  • 트리 형태 : 선택된 간선들이 사이클을 이루지 않는다

가중치 그래프의 신장 트리 중 가중치의 합이 가장 작은 트리를 찾는 문제를 최소 신장트리 문제라고 한다.

최소 신장 알고리즘

가장 최소한의 비용으로 사이클 없이 모든 노드를 연결해야할 때

=> 최소 비용으로 신장 트리를 만들어야할 때

크루스칼 알고리즘

1. 그래프의 모든 간선을 가중치의 오름차순으로 정렬한 뒤 신장 트리에 하나씩 추가해 간다.
2. 간선을 트리에 추가했을 때 이미 추가한 간선들과 합쳐 사이클을 이루는지 여부를 판단한다.
   • 두 정점이 주어졌을 때 이들이 같은 컴포넌트에 속하는지 확인하고, 아닐 경우 두 컴포넌트를 합친다.
     • 서로소 집합 자료구조의 find, union 연산을 사용한다.
     • 서로소 집합을 쓰지 않고 DFS 할 경우 DFS의 시간 복잡도인 O(|V|+|E|) 에 E를 곱해 O(E^2)이 된다
3. 최소 신장 트리에 포함되어 있는 간선의 비용만 모두 더 하면 그 값이 최종 비용이 된다.

def find_parent(parent,x):
  if parent[x] != x:
    parent[x] = find_parent(parent,parent[x])
  return parent[x]
​
def union_parent(parent,a,b):
  a = find_parent(parent,a)
  b = find_parent(parent,b)
  
  if a<b:
      parent[b] = a
  else:
      parent[a] = b
      
 
parnet= [0] * (v+1)
​
#모든 간선을 담을 리스트와 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = []
​
#부모 테이블 상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1,v+1):
  parent[i] = i
 
for i in range(e):
  a,b,c = map(int,input().split())
  edges.append((cost,a,b)) # 비용 순으로 정렬하기 위해서 
 
edges.sort()
​
for edge in edges:
  const, a, b = edge
  #사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
  if find_parent(parent,a) != find_parent(parent,b): 
    union_parent(parent,a,b)
    result += cost
​
print(resut)
​

시간 복잡도

간선의 개수가 E개일 때, O(ElogE)이다. 가장 오래 시간이 걸리는 부분이 정렬이고 정렬은 E개의 데이터를 정렬할 때 O(ElogE)이기 때문이다.

프림 알고리즘

하나의 시작점으로 구성된 트리에 간선을 하나씩 추가하며 스패닝 트리가 될 때까지 키워 간다.

이미 만들어진 트리에 인접한 간선만을 고려한다는 점을 제외하면 프림 알고리즘은 크루스칼 알고리즘과 완전히 똑같다.

• 각 정점이 트리에 포함되었는지 여부를 나타내는 배열을 둔다
• 각 차례마다 트리에 속하지 않은 정점에 대해 트리와 이 정점을 연결하는 가장 짧은 간선 정보를 저장한다.
• 각 정점을 순회하면서 다음에 추가할 정점을 찾는다.

import heapq
​
def prim(src,edges):
  mst = []
  graph = [[] for _ in range(v)]
  
  for weight,n1,n2 in edges:
    graph[n1].append((weight,n1,n2))
    graph[n2].append((weight,n2,n1))
    
  
  connected_nodes = set(src)
  candidate_edge_list = graph[src]
  heaplify(candidate_edge_list)
  
  while candidate_edge_list :
    weight,n1,n2 = heapq.heappop(candidate_edge_list)
    if n2 not in connected_nodes :
      connected_nodes.append(n2)
      mst.append((weight,n1,n2))
      
      for edge in graph[n2]:
        if edge[2] not in connected_nodes:
          heapq.heappush(candidate_edge_list,edge)
    
  return mst

위상 정렬 알고리즘

순서가 정해져 있는 일련의 작업을 차례대로 수행해야할 때 사용할 수 있는 알고리즘

방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것

선수과목을 고려한 학습 순서 설정을 생각해보면된다.

1. 진입 차수가 0인 노드를 큐에 넣는다.
2. 진입차수 : 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수
3. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.
   1. 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 출발하는 간선을 그래프에서 제거 한다.
   2. 새롭게 진입 차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.
4. 과정을 수행하는 동안 큐에서 빠져나간 노드를 순서대로 출력하면 위상 정렬을 수행한 결과가 된다.

위상 정렬의 특이 케이스

1. 사이클이 발생하는 경우 일반적인 위상 정렬의 경우 정확히 N개의 노드가 큐에서 출력이 된다. 노드가 N번 나오기 전에 큐가 비면 사이클이 발생한 것으로 이해할 수 있다.
2. 위상 정렬 결과가 1개가 아니라 여러 가지인 경우 특정 시점에 2개 이상의 노드가 큐에 한꺼번에 들어갈 때는 가능한 정렬 결과가 여러가지라는 의미가 된다.

from collection import deque
​
#진입 차수 초기화
indegree = [0]*(v+1)
graph[[] for _ in range(v+1)]
​
# 간선 정보 입력
for _ in range(e):
  graph[a].append(b) #A에서 B로 이동 가능
  indegree[b] += 1
  
  
  
#위상 정렬
def topology_sort():
  result = []
  q = deque()
  
  for i in range(1,v+1):
    if indegree[i] == 0:
      q.append(i)
   
  while q:
    now = q.popleft()
    result.append(now)
    # 인접한 노드들의 진입 차수 -1
    for i in graph[now]:
      indegree[i] -= 1
      #새롭게 진입 차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
      if indegree[i] == 0:
        q.append(i)
      
 
# 위상 정렬을 수행한 결과 출력 
for i in result:
  print(i, end= ' ')
 
​
topology_sort()
  
​

위상 정렬의 시간복잡도

차례대로 모든 노드를 확인하면서, 해당 노드에서 출발하는 간선을 차례대로 제거해야하므로 결과적으로 노드와 간선을 모두 확인해야한다는 측면에서 O(V+E)의 시간이 소요된다